Từ phương trình chính tắc của (E) ta có: \(a = 7,b = 5 \Rightarrow c = 2\sqrt 6 {\rm{ }}(do{\rm{ }}{{\rm{c}}^2} + {b^2} = {a^2})\)

Vậy ta có tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy là: \({A_1}\left( { - 7;{\rm{ }}0} \right)\)\({A_2}\left( {7;{\rm{ }}0} \right)\)\({B_1}\left( {0; - {\rm{ 5}}} \right)\)\({B_2}\left( {0;{\rm{ 5}}} \right)\)

Hai tiêu điểm của (E) có tọa độ là: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 6 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 6 ;0} \right)\)

a) (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) nên \(c = \sqrt 3\).

Phương trình chính tăc của (E) có dạng

\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Ta có: \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\)

\(\Rightarrow {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\ (1)\)

Và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\)

Thay vào (1) ta được :

\(\eqalign{ & {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3) \cr}\)

\(\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)

Suy ra \({a^2} = 4\)

Ta có a = 2 ; b = 1.

Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0)

(0 ; -1) và (0 ; 1).

b) Phương trình chính tắc của (E) là :

\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm\(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3\).

Phương trình tung độ giao điểm của \(\Delta\) và \((E)\) là :

\({3 \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \pm {1 \over 2}\)

Suy ra tọa độ của C và D là :

\(C\left( {\sqrt 3 ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;{1 \over 2}} \right)\)

Vậy CD = 1.

Do hypebol (H) giao với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên tọa độ giao điểm của (H) vơi trục Ox là (3;0), do đó ta có:

\({\frac{3}{{{a^2}}}^2} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = 9 \Rightarrow a = 3\) (a > 0)

Do \(N\left( {\sqrt {10} ;2} \right) \in \left( H \right)\) nên ta có: 

\({\frac{{\left( {\sqrt {10} } \right)}}{{{a^2}}}^2} - \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = 36 \Rightarrow b = 6\) (b > 0)

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{36} = 1\)

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).

Elip đi qua \(A\left( {5;0} \right)\) nên ta có \(\frac{{{5^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 25\)

Mặt khác elip có một tiêu điểm \({F_2} = \left( {3;0} \right)\) nên ta có \(c = 3\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - {3^2} = 16\)

Vậy phương trình của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

a) Các giao điểm của (E) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \pm a\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1}\left( { - a;0} \right)\\{A_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.\)

Các giao điểm của (E) với trục tung có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  \pm b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{B_1}\left( {0; - b} \right)\\{B_2}\left( {0;b} \right)\end{array} \right.\)

Ta có \({A_1}{A_2} = 2a,{B_1}{B_2} = 2b\).

b) Do M thuộc (E) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} = 1\)

Do \(a > b > 0\) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}}\). Suy ra \(1 \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {b^2} \le x_o^2 + y_o^2\)

Tương tự ta có \(\frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}}\) nên \(1 \ge \frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {a^2} \ge x_o^2 + y_o^2\)

Vậy \({b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}\)

Ta có \(OM = \sqrt {x_o^2 + y_o^2} \) suy ra \(b \le OM \le a\)

Gọi pt chính tắc của elip cần tìm là \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Do (E) đi qua \(\left(2;2\sqrt{6}\right)\) nên \(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{24}{b^2}=1\). Đồng thời (E) đi qua \(N\left(4;-\sqrt{15}\right)\) nên \(\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{15}{b^2}=1\). Ta có hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{24}{b^2}=1\\\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{15}{b^2}=1\end{matrix}\right.\) . (I)

Đặt \(\dfrac{1}{a^2}=u\) và \(\dfrac{1}{b^2}=v\) \(\left(u,v>0\right)\). Khi đó hệ (I) trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}4u+24v=1\\16u+15v=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{36}\\v=\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\) (nhận) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{36}\\\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\) 

Vậy pt chính tắc của elip cần tìm là \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1\)

 Khi đó \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-27}=3\) nên tọa độ các tiêu điểm của *(E) là \(F_1\left(-3;0\right);F_2\left(3;0\right)\) . Tâm sai của (E) là \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

a, Phương trình chính tắc của (E) có dạng

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) với 0<b<a

Ta có A(0;2) \(\in\left(E\right)\)<=>b=2

(E) có tiêu điểm F₁\(\left(-\sqrt{5};0\right)\) => c=\(\sqrt{5}\)

Ta có \(a^2=b^2+c^2=4+5=9\)=>a=3

==> (E) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

b, 2a = 6; 2b = 4; 2c = \(2\sqrt{5}\)=>\(\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

c, S=4ab=24